Es sei
. Wir betrachten den Restklassenring
, der eine quadratische Erweiterung des Körpers
ist. Damit gibt es nach
Fakt
die drei Möglichkeiten:
ist ein
Körper.
ist von der Form
.
ist der
Produktring
.
Im ersten Fall ist
ein Primelement in
. Im zweiten Fall besitzt
genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich
. Nach der in
Aufgabe
bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal
mit
(das dem Ideal
im Restklassenring entspricht).
Dann ist
(wobei hier
ein Repräsentant in
sei)
und
.
Im dritten Fall besitzt
zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach
heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale
und
gibt mit
und mit
. Nach
Fakt
ist
. Mit
ist auch
. Wir zeigen, dass
ist, d.h., dass die beiden Primideale über
konjugiert vorliegen. Da nach
Fakt
bei
der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass
die Diskriminate nicht teilt.
Bei
ist
ungerade und
ist ein Quadratrest modulo
. Es seien
und
die beiden verschiedenen
(!)
Quadratwurzeln modulo
. Dann werden die beiden Primideale durch
beschrieben, und diese sind konjugiert.
Bei
und
ungerade ist nach der
Fakt
über die explizite Beschreibung der Faserringe
wieder ein Quadratrest modulo
. Es seien
und
die beiden verschiedenen
(!)
Quadratwurzeln von
modulo
. Dann ist
und daher sind die beiden Primideale gleich
,
so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.
Bei
und
ist nach der
Fakt
. Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann
und
. Daher sind die Primideale darüber gegeben durch
und
. Es ist
und
,
so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.