Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe/Lösung

Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei ${}x\sim y$. Im Fall ${}x=y$ ist natürlich auch ${}y=x$ und somit ${}y\sim x$. Im Fall

${}x=y^{-1}\,$

ergibt sich durch Invertieren der Gleichung

${}x^{-1}={\left(y^{-1}\right)}^{-1}=y\,,$

also ebenfalls ${}y\sim x$. Zum Nachweis der Transitivität sei ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$. Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei ${}x=y$ und ${}y=z$ ist natürlich ${}x=z$. Bei ${}x=y$ und ${}y=z^{-1}$ ist ${}x=z^{-1}$, also ${}x\sim z$. Bei ${}x=y^{-1}$ und ${}y=z$ ist ${}x=y^{-1}=z^{-1}$, also wieder ${}x\sim z$. Bei ${}x=y^{-1}$ und ${}y=z^{-1}$ ist

${}x=y^{-1}={\left(z^{-1}\right)}^{-1}=z\,,$

also ${}x\sim z$.

Zur gelösten Aufgabe