Äquivalenzrelation/Kongruenz von Dreiecken/Beispiel

Es sei ${}M$ die Menge aller Dreiecke (in der reellen Ebene). Zwei Dreiecke ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ heißen kongruent, wenn es eine (eventuell uneigentliche) Bewegung gibt, die das eine Dreieck in das andere Dreieck überführt. Eine Bewegung soll dabei die Längen und die Winkel erhalten. Eine solche Bewegung setzt sich zusammen aus einer Verschiebung, einer Achsenspiegelung und einer Drehung (in beliebiger Reihenfolge, beliebig oft angewendet). Die Kongruenz von Dreiecken ist eine Äquivalenzrelation. Ein Dreieck ist zu sich selbst kongruent, da es durch die identische Bewegung in sich überführt wird. Wenn ${}D_{1}$ durch eine bestimmte Bewegung ${}\beta$ in ${}D_{2}$ überführt wird, so wird durch die entgegengesetzte Bewegung, also ${}\beta ^{-1}$, das zweite Dreieck ${}D_{2}$ in ${}D_{1}$ überführt. Die Kongruenz ist also symmetrisch. Wenn drei Dreiecke ${}D_{1},D_{2},D_{3}$ gegeben sind, wobei ${}D_{1}$ zu ${}D_{2}$ und ${}D_{2}$ zu ${}D_{3}$ kongruent sind, so gibt es eine Bewegung ${}\beta$, die ${}D_{1}$ in ${}D_{2}$ überführt, und eine Bewegung ${}\gamma$, die ${}D_{2}$ in ${}D_{3}$ überführt. Dann hat die Gesamtbewegung ${}\gamma \circ \beta$ die Eigenschaft, dass sie insgesamt ${}D_{1}$ in ${}D_{3}$ überführt. Ebenso ist die eigentliche Kongruenz, bei der nur eigentliche Bewegungen (also keine Achsenspiegelungen) erlaubt sind, eine Äquivalenzrelation.