Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}7$ ein Teiler von

${}0=x-x\,,$

daher ist ${}x\sim x$, was die Reflexivität bedeutet. Sei ${}x\sim y$. Dies bedeutet, dass ${}7$ ein Teiler von ${}x-y$ ist, was wiederum bedeutet, dass

${}x-y=7\cdot c\,$

mit einem gewissen ${}c\in \mathbb {Z}$ ist. Durch Multiplikation mit ${}-1$ erhält man

${}y-x=-(x-y)=7\cdot (-c)\,.$

Also ist ${}7$ auch ein Teiler von ${}y-x$ und somit ist ${}y\sim x$, was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$. Somit ist

${}x-y=7c\,$

und

${}y-z=7d\,$

mit gewissen ${}c,d\in \mathbb {Z}$. Insgesamt ergibt sich

${}x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d)\,,$

sodass auch ${}x-z$ ein Vielfaches von ${}7$ ist. Also ist

${}x\sim z$.

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