Äquivalenzrelation/Projektiver Raum/Körper/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}K$ ein Körper. Wir setzen ${}M=K^{n+1}\setminus \{0\}$. Der ${}K^{n+1}$ ist ein Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von ${}\lambda \in K$ und ${}x\in K^{n+1}$ mit ${}\lambda \cdot x$ bezeichnet wird. Es sei weiter

${}R={\left\{(x,y)\in M\times M\mid {\text{ es gibt ein }}\lambda \in K\setminus \{0\}{\text{ mit }}\lambda \cdot x=y\right\}}\,.$

Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \neq 0$ ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren.

Dass wirklich eine Äquivalenzrelation vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus ${}x=1x$ für jedes ${}x\in M$. Zum Nachweis der Symmetrie sei ${}xRy$, d.h. es gibt ein ${}\lambda \neq 0$ mit ${}\lambda x=y$. Dann gilt aber auch ${}y=\lambda ^{-1}x$, da ja ${}\lambda$ ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei ${}xRy$ und ${}yRz$ angenommen, d.h. es gibt ${}\lambda ,\delta \neq 0$ mit ${}\lambda x=y$ und ${}\delta y=z$. Dann ist insgesamt ${}z=\delta y=(\delta \lambda )x$ mit ${}\delta \lambda \neq 0$. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt (aber ohne den Nullpunkt). Die Quotientenmenge heißt projektiver Raum über ${}K$ (der Dimension ${}n$) und wird mit ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ bezeichnet.