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Übergangsmatrix/Basiswechsel/1/Aufgabe/Lösung
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Übergangsmatrix/Basiswechsel/1/Aufgabe
Es ist
M
u
v
=
(
1
0
−
1
4
1
1
5
2
0
)
.
{\displaystyle {}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&0&-1\\4&1&1\\5&2&0\end{pmatrix}}\,.}
Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist
(
1
0
−
1
4
1
1
5
2
0
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\4&1&1\\5&2&0\end{pmatrix}}}
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
(
1
0
−
1
0
1
5
0
2
5
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&5\\0&2&5\end{pmatrix}}}
(
1
0
0
−
4
1
0
−
5
0
1
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-4&1&0\\-5&0&1\end{pmatrix}}}
(
1
0
−
1
0
1
5
0
0
−
5
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&5\\0&0&-5\end{pmatrix}}}
(
1
0
0
−
4
1
0
3
−
2
1
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-4&1&0\\3&-2&1\end{pmatrix}}}
(
1
0
−
1
0
1
5
0
0
1
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&5\\0&0&1\end{pmatrix}}}
(
1
0
0
−
4
1
0
−
3
5
2
5
−
1
5
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-4&1&0\\-{\frac {3}{5}}&{\frac {2}{5}}&-{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}}
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
(
2
5
2
5
−
1
5
−
1
−
1
1
−
3
5
2
5
−
1
5
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{5}}&-{\frac {1}{5}}\\-1&-1&1\\-{\frac {3}{5}}&{\frac {2}{5}}&-{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}}
Es ist also
M
v
u
=
(
2
5
2
5
−
1
5
−
1
−
1
1
−
3
5
2
5
−
1
5
)
.
{\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{5}}&-{\frac {1}{5}}\\-1&-1&1\\-{\frac {3}{5}}&{\frac {2}{5}}&-{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}\,.}
Zur gelösten Aufgabe