Überlagerungen/Liftungssatz/Fakt

Es sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung und ${}Y$ ein zusammenhängender und lokal weg-zusammenhängender topologischer Raum. Es sei weiter ${}e_{0}\in E,\,x_{0}=p(e_{0})\in X,\,y_{0}\in Y$ und ${}f\colon (Y,y_{0})\to (X,x_{0})$ eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume.

Es gibt eine stetige Abbildung ${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (E,e_{0})$ punktierter topologischer Räume mit ${}p\circ {\tilde {f}}=f$ genau dann, wenn

${}f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,$

gilt.

Die stetige Abbildung ${}{\tilde {f}}$ ist durch die Bedingungen ${}p\circ {\tilde {f}}=f$ und ${}{\tilde {f}}(y_{0})=e_{0}$ eindeutig bestimmt, wenn sie existiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen