1 durch Logarithmus/Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

a) Skizze.

b) Es ist

${}f'(x)=-{\frac {1}{x{\left(\ln x\right)}^{2}}}\,.$

c) Es ist

${}f^{\prime \prime }(x)={\frac {{\left(\ln x\right)}^{2}+x2{\left(\ln x\right)}{\frac {1}{x}}}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{4}}}={\frac {{\left(\ln x\right)}+2}{x^{2}{\left(\ln x\right)}^{3}}}\,.$

d) Wegen ${}0<x<1$ ist ${}f'(x)<0$ und daher ist die Funktion streng fallend und besitzt im offenen Einheitsintervall keine Extrema. Der Nenner von ${}f^{\prime \prime }$ ist stets negativ. Für den Zähler gilt

${}{\left(\ln x\right)}+2=0\,$

genau dann, wenn

${}x=e^{-2}\,.$

Für ${}x<e^{-2}$ ist die zweite Ableitung negativ und für

${}x>e^{-2}$ ist die zweite Ableitung positiv. Daher liegt bei ${}x=e^{-2}$

ein Wendepunkt vor.

Zur gelösten Aufgabe