2-Sphäre/Tangentialvektor/Norm 1/Großkreis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$. Beide Vektoren sind normiert und stehen senkrecht aufeinander, da die Tangentialebene an die Sphäre senkrecht auf dem Ortsvektor steht. Wir betrachten den Weg

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

mit

${}\gamma (t)={\left(\cos t\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin t\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}\Vert {\gamma (t)}\Vert =\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1\,,$

der Weg verläuft also ganz auf der Sphäre. Ferner ist

${}\gamma (0)={\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma '(0)=-{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe