2x2-Matrix/R/Quadrat annulliert/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung bedeutet

${}M^{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+dc&d^{2}+bc\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Aus

${}b(a+d)=0\,$

folgt ${}b=0$ oder ${}a+d=0$. Bei ${}a+d\neq 0$ folgt aus den Einträgen rechts oben und links unten direkt

${}b=c=0\,.$

Daraus ergibt sich aus links oben und rechts unten ebenfalls

${}a=d=0\,,$

was der Annahme widerspricht. Es muss also

${}a+d=0\,$

sein, also

${}d=-a\,.$

Damit sind die Bedingungen rechts oben und links unten erfüllt und die beiden anderen Bedingungen sind äquivalent und bedeuten einfach

${}a^{2}+bc=0\,.$

Wenn ${}b=0$ (bzw. ${}c=0$) ist, so ist

${}a=d=0\,$

und ${}c$ (bzw. ${}b$) beliebig. Dies führt zu den Lösungen ${}{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}}$. Es seien nun

${}b,c\neq 0\,.$

Wenn ${}b,c$ beide positiv oder beide negativ sind, so gibt es keine Lösung für ${}a$. Also müssen die Vorzeichen von ${}b$ und ${}c$ verschieden sein. In diesem Fall ist

${\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {-bc}}&b\\c&\mp {\sqrt {-bc}}\end{pmatrix}}$

eine Lösung.

Zur gelösten Aufgabe