3x3Matrix/370/Jordan/Beispiel

Wir wollen Fakt auf

${}M={\begin{pmatrix}0&3&7\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

anwenden. Es ist

${}M^{2}=0\,.$

Somit ist

$V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},7e_{2}-3e_{3}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$

Es ist

${}V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$

sodass wir

${}U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$

wählen können. Es ist

${}Me_{3}={\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$

Somit ist

${}V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}},7e_{2}-3e_{3}\rangle =U_{1}\,.$

Daher ist

${\begin{pmatrix}0\\7\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

beschrieben.