Es ist ein primitives Element der Einheitengruppe von . Somit ist der durch
(es sei eine primitive siebte Einheitswurzel)
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gegebene Automorphismus ein Erzeuger der Galoisgruppe. Die nichttrivialen Untergruppen der Galoisgruppe werden durch
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bzw. durch
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erzeugt.
Unter der ersten Abbildung wird auf
und auf
abgebildet. Die Abbildung ist also die Einschränkung der komplexen Konjugation und der Fixkörper ist
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Dabei ist klar. Es ist
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und
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Somit ist mit
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Also ist
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Unter der Abbildung wird auf und auf
abgebildet. Somit wird unter dieser Abbildung auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixelement unter diesem Automorphismus. Es ist
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Das Element
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erfüllt als die quadratische Gleichung
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Daher ist
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und der Fixkörper ist
.
Zur trivialen Untergruppe gehört der volle Kreisteilungskörper
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und zur vollen Gruppe gehört
.