A1-Singularität/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Sei ${}Z^{2}=XY$ und sei

${}R=K[X,Y,Z]/(Z^{2}-XY)\,.$

Der Ring der Hauptteile ist durch

$R\otimes _{K}R$

gegeben. Wenn man die Variablen für die zweite Komponente als ${}{\tilde {X}},{\tilde {Y}},{\tilde {Z}}$ ansetzt, so ist dies

$K[X,Y,Z,{\tilde {X}},{\tilde {Y}},{\tilde {Z}}]/(Z^{2}-XY,{\tilde {Z}}^{2}-{\tilde {X}}{\tilde {Y}}).$

Mit den Festlegungen

$A={\tilde {X}}-X,\,B={\tilde {Y}}-Y{\text{ und }}C={\tilde {Z}}-Z$

kann man dies als

$R[A,B,C]/(C^{2}+2ZC-AB-AY-BX)$

schreiben. Die Ideale, die man rausdividieren muss, sind ${}(A,B,C)^{n+1}$. Somit sind die (Vergleichsmonome)

$1,A,B,C,A^{2},AB,AC,B^{2},BC,C^{2},\ldots$

Erzeuger über ${}R$. Für die Modulbeschreibung muss man die Ringgleichung mit den Monomen multiplizieren. Es ergibt sich eine Darstellung

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1}RA^{\mu }{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}RA^{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow 0.$

Für ${}n=1$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}&1\\1&0\\A&-Y\\B&-X\\C&2Z\end{pmatrix}}.$

Für ${}n=2$ ergibt sich die Matrix (in der ${}\mu$-Spalte steht die Gleichung multipliziert mit ${}A^{\mu }$)

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&-Y&0&0&0\\B&-X&0&0&0\\C&2Z&0&0&0\\A^{2}&0&-Y&0&0\\AB&-1&-X&-Y&0\\AC&0&2Z&0&-Y\\B^{2}&0&0&-X&0\\BC&0&0&2Z&-X\\C^{2}&1&0&0&2Z\end{pmatrix}}$

Ein Differentialoperator ist eine Zuordnung ${}A^{\nu }\mapsto a_{\nu }\in R$ mit der Bedingung, dass dieses Tupel ein Element des Kernes von links der Matrix ist. Man sucht also nach ${}\nu$-Tupeln, die eine lineare Abhängigkeit der Zeilen ausdrücken. Damit der Operator unitär ist, muss zumindest ein Koeffizient eine Einheit sein. Dies bedeutet wiederum die Frage, ob man eine Zeile als Linearkombination der anderen schreiben kann. Für die erste Zeile ist das direkt klar, da natürlich durch ${}(1,0,0,0\ldots ,0,0)$ eine lineare Abhängigkeit vorliegt. Nichttriviale Abhängigkeiten sind

$(0,1,0,0,4X,0,2Z,0,0,Y),$

und

$(0,0,1,0,0,0,0,4Y,2Z,X)$

und

$(0,0,0,1,0,4Z,2X,0,2Y,2Z).$

Für ${}n=3$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&-Y&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&-X&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&2Z&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&0&-Y&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&-1&-X&-Y&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&2Z&0&-Y&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&0&0&-X&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&2Z&-X&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&1&0&0&2Z&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&0&0&0&-Y&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&-1&0&0&-X&-Y&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&0&2Z&0&-Y&0&0&0\\AB^{2}&0&0&-1&0&0&-X&0&-Y&0&0\\ABC&0&0&0&-1&0&2Z&-X&0&-Y&0\\AC^{2}&0&1&0&0&0&0&2Z&0&0&-Y\\B^{3}&0&0&0&0&0&0&0&-X&0&0\\B^{2}C&0&0&0&0&0&0&0&2Z&-X&0\\BC^{2}&0&0&1&0&0&0&0&0&2Z&-X\\C^{3}&0&0&0&1&0&0&0&0&0&2Z\end{pmatrix}}.$

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}&A^{3}&A^{2}B&A^{2}C&AB^{2}&ABC&AC^{2}&B^{3}&B^{2}C&BC^{2}&C^{3}\\A^{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-Y&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}B&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0&-X&-Y&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}C&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2Z&0&-Y&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B^{2}&0&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0&-X&0&-Y&0&0&0&0&0&0\\A^{2}BC&0&0&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&2Z&-X&0&-Y&0&0&0&0&0\\A^{2}C^{2}&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&2Z&0&0&-Y&0&0&0&0\\AB^{3}&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0&-X&0&0&-Y&0&0&0\\AB^{2}C&0&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&2Z&-X&0&0&-Y&0&0\\ABC^{2}&0&0&0&0&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&0&2Z&-X&0&0&-Y&0\\AC^{3}&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&2Z&0&0&0&-Y\\B^{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-X&0&0&0\\B^{3}C&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2Z&-X&0&0\\B^{2}C^{2}&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2Z&-X&0\\BC^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2Z&-X\\C^{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2Z\end{pmatrix}}.$