Abbildung/Dimension und Index/Jacobi/Benennung/Problematik/Bemerkung

Die Benennung der Dimensionen und der Indizes bei höherdimensionalen Abbildungen und insbesondere bei der Jacobimatrix ist ein gewisses Problem, was auch schon in der linearen Algebra auftritt. Für eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{\text{Dimension des ersten Raumes}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{\text{Dimension des zweiten Raumes}}$

ist es naheliegend, die erste Dimension links mit einem im Alphabet früheren Buchstaben als die zweite Dimension zu bezeichnen, also etwa ${}\mathbb {R} ^{a}\rightarrow \mathbb {R} ^{b}$ oder ${}\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{e}$ oder ${}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. Diese Reihenfolge überträgt sich sinnvollerweise auf Objekte, die mit dem ersten bzw. dem zweiten Raum verbunden sind, man spricht dann von der Standardbasis ${}e_{i}$, ${}1\leq i\leq a$, links und der Standardbasis ${}e_{j}$, ${}1\leq j\leq b$, rechts, bezeichnet die Variablen links mit ${}x_{i}$, ${}1\leq i\leq a$, und rechts mit ${}y_{j}$, ${}1\leq j\leq b$, und die Komponentenfunktionen zu ${}\varphi$ bezeichnet man mit ${}\varphi _{j}$, ${}1\leq j\leq b$. Diese Bezeichnungsphilosophie beißt sich allerdings mit den Bezeichungen für Matrizen. Bei einer Matrix sagt man die Anzahl der Zeilen zuerst und dann die Anzahl der Spalten, man spricht von einer Zeilenanzahl x Spaltenanzahl-Matrix und gemäß dieser Reihenfolge werden auch die Einträge benannt. Der Eintrag ${}a_{3,5}$ ist in der dritten Zeile und der fünften Spalte der Matrix. Nun wird aber eine lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben, deren Spaltenanzahl wegen „Zeile mal Spalte“ mit der Dimension des ersten Raumes übereinstimmt. Hier liegen also verschiedene Reihenfolgen vor, und dies ist der Grund, warum eine gewählte Bezeichnung nie völlig überzeugend ist. Bei einer partiell differenzierbaren Abbildung sollten die Bezeichnungen für die Indizes der Komponentenfunktionen zu den Bezeichnungen der Jacobimatrix passen.