Abbildung/Quadrieren/Injektiv und surjektiv/Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, da die verschiedenen Zahlen ${}2$ und ${}-2$ beide auf ${}4$ abgebildet werden. Sie ist nicht surjektiv, da nur nichtnegative Elemente erreicht werden (eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel). Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Injektivität folgt beispielsweise so: Wenn ${}x\neq y$ ist, so ist eine Zahl größer, sagen wir

${}x>y\geq 0\,.$

Doch dann ist auch ${}x^{2}>y^{2}$ und insbesondere ${}x^{2}\neq y^{2}$. Die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist nicht injektiv, aber surjektiv, da jede nichtnegative reelle Zahl eine Quadratwurzel besitzt. Die Abbildung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

ist injektiv und surjektiv.