Abbildungen/R/G nach W/Tangential äquivalent/Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow W$ Abbildungen und ${}P\in G$. Wir nennen ${}f,g$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {(f-g)(P+v)}{\Vert {v}\Vert }}$

existiert und gleich ${}0$ ist.

1. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von ${}G$ nach ${}W$ gegeben ist.
2. Es sei ${}f$ total differenzierbar. Zeige, dass ${}f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall ${}f$ genau dann in ${}P$ total differenzierbar ist, wenn dies für ${}g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt ${}P$ übereinstimmen.

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