Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Delta-Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Die Wohldefiniertheit, also die Unabhängigkeit von der gewählten injektiven Auflösung, zeigen wir den Fall, dass die Kategorie der -Moduln ist, der Formulierungsaufwand im allgemeinen Fall ist etwas größer. Es seien

    und

    injektive Auflösungen zu einem Modul . Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen

    und

    Dabei sind die Hintereinanderschaltungen und nach Fakt homotop zur Identität auf bzw. auf . Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen bzw. . D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung

    die Identität ist. Somit sind die kanonische Isomorphismen.

    Die Additivität gilt nach Fakt stets in der Homologie.

  2. Es sei eine injektive Auflösung des Objektes . Die -te Homologie des Komplexes

    ist einfach der Kern des Homomorphismus

    Wegen der Linksexaktheit von ist dieser Kern aber gleich .

  3. Nach Fakt gibt es ein kommutatives Diagramm

    mit exakten Zeilen und Spalten. Da die einzelnen Zeilen (bis auf die Ausgangssequenz) spalten, erhält man für jedes eine kurze exakte Sequenz

    Es liegt somit ein kommutatives Diagramm

    mit exakten Zeilen vor. In einer solchen Situation gibt es nach Fakt einen Homomorphismus vom Kern von in den Kern von und somit auch nach . Dabei geht das Bild von auf und somit induziert dies einen Homomorphismus

  4. Siehe Aufgabe.