- Die Wohldefiniertheit, also die Unabhängigkeit von der gewählten injektiven Auflösung, zeigen wir den Fall, dass die Kategorie der -Moduln ist, der Formulierungsaufwand im allgemeinen Fall ist etwas größer. Es seien
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und
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injektive Auflösungen zu einem Modul . Dann gibt es nach
Fakt
Homomorphismen
von Kettenkomplexen
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und
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Dabei sind die Hintereinanderschaltungen und nach
Fakt
homotop
zur Identität auf
bzw. auf .
Dies gilt nach
Fakt
auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen bzw. . D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung
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die Identität ist. Somit sind die kanonische Isomorphismen.
Die Additivität gilt nach
Fakt
stets in der Homologie.
- Es sei eine injektive Auflösung des Objektes . Die -te Homologie des Komplexes
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ist einfach der Kern des Homomorphismus
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Wegen der Linksexaktheit von ist dieser Kern aber gleich .
- Nach
Fakt
gibt es ein kommutatives Diagramm
-
mit exakten Zeilen und Spalten. Da die einzelnen Zeilen
(bis auf die Ausgangssequenz)
spalten, erhält man für jedes
eine kurze exakte Sequenz
-
Es liegt somit ein kommutatives Diagramm
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mit exakten Zeilen vor. In einer solchen Situation gibt es nach
Fakt
einen Homomorphismus vom Kern von
in den Kern von
und somit auch nach . Dabei geht das Bild von auf und somit induziert dies einen Homomorphismus
-
- Siehe
Aufgabe.