Abgeschlossene Kreisscheibe/Nicht durch abzählbar viele Rechtecke überdeckbar/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, es sei ${}B\left(0,1\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }R_{n}$ mit abgeschlossenen Rechtecken ${}R_{n}=[a_{n},b_{n}]\times [c_{n},d_{n}]\subseteq B\left(0,1\right)$. Dies führen wir zu einem Widerspruch. Es sei ${}P=(x,y)\in B\left(0,1\right)$ ein Randpunkt der Kreisscheibe, also ein Punkt mit ${}x^{2}+y^{2}=1$. Es ist dann ${}P\in R_{n}$ für mindestens ein ${}n$. Wir behaupten, dass ${}P$ ein Eckpunkt dieses Rechtecks ist.

Dazu zeigen wir, dass beide Koordinaten ${}x$ und ${}y$ Seitenkoordinaten des Rechtecks sind. Betrachten wir ${}x$ und nehmen wir an, ${}x$ sei keine Seitenkoordinate des Rechtecks, also ${}a_{n}<x<b_{n}$. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass sowohl ${}(x+\epsilon ,y)$ als auch ${}(x-\epsilon ,y)$ zu ${}R_{n}$ und damit zu ${}B\left(0,1\right)$ gehören. Also ist

${}{\sqrt {(x\pm \epsilon )^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}={\sqrt {1+\epsilon ^{2}\pm 2x\epsilon }}\leq 1\,.$

Da man das Vorzeichen bei nichtnegativem ${}x$ positiv und bei negativem ${}x$ negativ wählen kann, steht bei dieser Wahl unter der Wurzel eine Zahl, die größer als ${}1$ ist, was einen Widerspruch bedeutet. Da diese Überlegung auch für die ${}y$-Koordinate gilt, muss ${}P$ ein Eckpunkt eines Rechtecks sein.

Da nur abzählbar viele Rechtecke beteiligt sind, stehen insgesamt nur abzählbar viele Eckpunkte zur Verfügung. Andererseits gibt es aber überabzählbar viele Punkte auf der Sphäre ${}S^{1}={\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, wie aus der Bijektion

$[0,2\pi [\longrightarrow S^{1},\,\alpha \longmapsto (\cos \alpha ,\sin \alpha ),$

folgt. Also kann eine abzählbare Überdeckung mit abgeschlossenen Rechtecken in ${}B\left(0,1\right)$ nicht den gesamten Rand und damit nicht die abgeschlossene Kreisscheibe überdecken.

Zur gelösten Aufgabe