Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Die differenzierbare Struktur auf ${}M$ ist durch die eingeschränkten Karten

$\theta \!\mid _{M}\colon M\cap W\longrightarrow (\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'$

gegeben. Dass sich die Diffeomorphismuseigenschaft der Kartenwechsel auf die Einschränkungen überträgt ergibt sich wie im Beweis zu Fakt. Dass eine differenzierbare Abbildung vorliegt ergibt sich daraus, dass zu einem offenen Kartengebiet ${}W\subseteq N$ ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}M\cap W&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&W&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&N&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

gehört, wobei die vertikalen Pfeile offene und die horizontalen Pfeile abgeschlossene Einbettungen repräsentieren. Der obere Pfeil korrespondiert über die Kartenwechsel zu

$(\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'\longrightarrow W',$

also zur abgeschlossenen Einbettung eines Koordinatenunterraums, die natürlich differenzierbar ist.

Zur bewiesenen Aussage