Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P\in M$ und ${}P\in V\subseteq N$ ein Kartengebiet mit der Karte

$\alpha \colon V\longrightarrow V'$

und mit der eingeschränkten Karte

$U=M\cap V\longrightarrow U'=\mathbb {R} ^{m}\cap V'.$

Nach Fakt  (2) haben wir ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&T_{P}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\alpha \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Die untere horizontale Abbildung ist dabei das totale Differential zur Inklusion ${}\mathbb {R} ^{m}\cap V'\rightarrow V'$, und diese ist die lineare Inklusion ${}\mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, also injektiv. Da die vertikalen Abbildungen bijektiv sind, ist auch die obere horizontale Abbildung injektiv.

Zur bewiesenen Aussage