Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt/Beweis2

Beweis

Sei ${}P\in M$. Für ein offenes Kartengebiet

$\theta \colon W\longrightarrow W'$

mit ${}P\in W\subseteq N$ erhält man einen Vektorraumisomorphismus ${}T_{P}N\cong T_{\theta (P)}\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}$. Ein Tangentenvektor aus ${}T_{P}M$ wird durch eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M\cap W$

mit ${}\gamma (0)=P$ repräsentiert. Da ${}\theta$ eine Korrespondenz zwischen ${}M\cap W$ und ${}(\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W'$ induziert, ist ${}\theta \circ \gamma$ eine differenzierbare Kurve, die ganz in ${}\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}$ verläuft. Daher ergibt sich aus der Isomorphie ${}T_{P}N\cong \mathbb {R} ^{n}$ für die Tangentialräume das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&T_{P}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

sodass insbesondere ${}T_{P}M$ ein Unterraum von ${}T_{P}N$ ist.

Zur bewiesenen Aussage