Abschätzung/R/Potenzen und Brüche/1/Aufgabe/Lösung

Wegen

{}x^{-s}={\frac {1}{x^{s}}}\leq {\frac {1}{2^{s}}}\leq {\frac {1}{2}}<1\,

ist

{}1-x^{-s}>0\,.

Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit ${}1-x^{-s}$ multiplizieren. Die linke Abschätzung folgt somit aus

{}(1+x^{-s})(1-x^{-s})=1-(x^{-s})^{2}<1\,.

Für die rechte Abschätzung ist

{}1\leq (1+2x^{-s})(1-x^{-s})=1+x^{-s}-2x^{-s}x^{-s}=1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,

nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung ${}x^{-s}\leq {\frac {1}{2}}$ ergibt sich ${}-2x^{-s}\geq -1$ bzw. ${}1-2x^{-s}\geq 0$ , was

{}1\leq 1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,

bestätigt.