Achsenkreuz/Normalisierung/Beispiel

Wir bestimmen die Normalisierung des Ringes ${}K[X,Y]/(XY)$ über einem Körper ${}K$. Das Element ${}X+Y$ ist ein Nichtnullteiler und für das Element ${}{\frac {X-Y}{X+Y}}$ aus dem totalen Quotientenring ${}Q(R)$ gilt

${}{\left({\frac {X-Y}{X+Y}}\right)}^{2}={\frac {(X-Y)^{2}}{(X+Y)^{2}}}={\frac {X^{2}+Y^{2}}{X^{2}+Y^{2}}}=1\,,$

d.h. dieses Element erfüllt eine Ganzheitsgleichung und gehört somit zur Normalisierung.