Achsenkreuz/Punktiert/Globale Funktion/Beispiel

Wir betrachten ${}R=K[X,Y]/(XY)$ über einem Körper ${}K$. Auf der offenen Menge

${}U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\setminus \{(X,Y)\}\,$

ist diejenige Funktion, die auf der (punktierten) Geraden ${}V(X)\cap U=D(Y)$ den Wert ${}0$ und auf der (punktierten) Geraden ${}V(Y)\cap U$ den Wert ${}1$ besitzt, eine algebraische Funktion. Durch diese Festlegung ist für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in U$ ein ${}s_{\mathfrak {p}}\in R_{\mathfrak {p}}$ gegeben. Bei

${}{\mathfrak {p}}\in V(X)\cap U=D(Y)\,$

ist ${}0={\frac {0}{Y}}$ eine Beschreibung als Bruch und bei

${}{\mathfrak {p}}\in V(Y)\cap U=D(X)\,$

ist ${}1={\frac {X}{X}}$ eine Beschreibung als Bruch.