Achter Kreisteilungskörper/Mehrfache Graduierung/Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]\,$

in ${}{\mathbb {C} }$. Diese besitzt eine ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der ${}1,{\mathrm {i} },{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }{\sqrt {2}}$ eine homogene Basis bilden. Das (in dieser Graduierung nicht homogene) Element ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ ist eine ${}8$-te primitive Einheitswurzel und wegen ${}\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ ist ${}L=\mathbb {Q} (\zeta _{8})$ der achte Kreisteilungskörper. Das Minimalpolynom zu ${}\zeta _{8}$ ist ${}X^{4}+1$, so dass man auch ${}L\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ schreiben kann. Dies zeigt, dass ${}L$ auch eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist, bei der ${}\zeta _{8}$ homogen ist.