Achter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe/Lösung

Der achte Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ hat den Grad ${}4$ und besitzt vier komplexe Einbettungen, also ${}s=2$. Die Diskriminante ist nach Fakt gleich ${}\pm 256$. Die Normschranke aus Fakt ist somit

${}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2}{\sqrt {256}}={\frac {64}{\pi ^{2}}}<7\,.$

Es ist also zu überprüfen, ob ${}2,3,5$ eine Primfaktorzerlegung in ${}R_{8}$ besitzen.

${}p=2\,.$

Es ist

${}\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{4}+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X+1\right)}^{4}\,,$

das einzige Primideal oberhalb von ${}(2)$ in ${}R_{4}$ ist ${}(2,X+1)$. Wegen

${}{\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\right)}/(X+1)=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1,X+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)\,$

ist ${}X+1$ prim und somit ist

${}(2)=(X+1)^{4}\,$

die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und ${}2$ besitzt eine Primfaktorzerlegung.

${}p=3\,.$

In ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$ gilt die Zerlegung

${}X^{4}+1=(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)\,,$

wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(3)$ besitzen. Über ${}(3)$ liegen somit die Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{1}=(3,X^{2}+X-1)$ und ${}{\mathfrak {p}}_{2}=(3,X^{2}-X-1)$. In ${}\mathbb {Z} [X]$ gilt

${}X^{4}+1=(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)+3X^{2}\,.$

Da ${}X$ in ${}R_{8}$ eine Einheit ist, folgt, dass ${}3$ in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig sind und diese Primhauptideale sind. Somit liegt eine Primfaktorzerlegung für ${}3$ vor (nämlich ${}3=-X^{2}(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)$).

${}p=5\,.$

In ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ gilt die Zerlegung

${}X^{4}+1=(X^{2}-2)(X^{2}+2)\,,$

wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da ${}2$ und ${}3$ keine Quadrate in ${}\mathbb {Z} /(5)$ sind. Über ${}(5)$ liegen somit die Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{1}=(5,X^{2}-2)$ und ${}{\mathfrak {p}}_{2}=(5,X^{2}+2)$. In ${}\mathbb {Z} [X]$ gilt

${}X^{4}+1=(X^{2}-2)(X^{2}+2)+5\,,$

was bedeutet, dass die ${}5$ in den beiden Primidealen überflüssig ist. Somit sind beide Primhaupideale und

${}5=(X^{2}-2)(X^{2}+2)\,$

ist die Primfaktorzerlegung.

Zur gelösten Aufgabe