Addition/Multiplikation/Potenz/Ohne (2,4)/Injektivität/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv. Um dies zu zeigen, weisen wir nach, dass es verschiedene Zahlen ${}x,y\in \mathbb {R} _{+}\setminus \{2,4\}$ mit

${}x^{y}=y^{x}\,$

gibt. Für ein solches Paar ist dann

${}\varphi (x,y)=\varphi (y,x)\,.$

Die Bedingung bedeutet

${}e^{y\ln x}=e^{x\ln y}\,$

und ist wegen der Injektivität der Exponentialfunktion äquivalent zu

${}y\ln x=x\ln y\,,$

was wiederum auf

${}{\frac {\ln x}{x}}={\frac {\ln y}{y}}\,$

führt. Die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {\ln x}{x}},$

ist stetig und hat in ${}x=1$ eine Nullstelle, ist für ${}x\geq 1$ positiv und konvergiert für ${}x\rightarrow +\infty$ gegen ${}0$. Somit nimmt die Funktion in einem Punkt ${}a\in {]1,+\infty [}$ ihr Maximum an (übrigens ist ${}a=e$). Für jedes ${}c\in {]0,f(a)[}$ gibt es dann nach dem Zwischenwertsatz ein ${}x\in {]0,a[}$ mit

${}f(x)=c\,$

und ein ${}y>a$ mit

${}f(y)=c\,.$

Da es unendlich viele ${}c$ gibt, kann man auch ${}x,y\neq 2,4$ sichern.

Zur gelösten Aufgabe