Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem Polynom

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

und ${}i$, ${}1\leq i\leq n$, heißt das Polynom

${}\partial _{i}F:={\frac {\partial F}{\partial X_{i}}}:=\sum _{\nu }\nu _{i}a_{\nu }X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}X_{i}^{\nu _{i}-1}X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

die formale partielle Ableitung von ${}F$ nach ${}X_{i}$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome. Es sei ${}P\in K^{n}$ ein Punkt. Dann heißt die Matrix

${}\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Jacobi-Matrix zu ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ im Punkt ${}P$.

Die Jacobi-Matrix im Punkt ${}P$ ist eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Für ${}K={\mathbb {K} }$ beschreibt die Jacobi-Matrix das totale Differential. Wenn die Jacobi-Matrix in einem Punkt ${}P$ surjektiv ist, als ihr Rang gleich ${}m$ ist, so gilt der Satz über implizite Abbildungen, der besagt, dass die Faser durch ${}P$ von ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ in einer offenen Umgebung von ${}P$ diffeomorph zu ${}{\mathbb {K} }^{n-m}$ ist. Die Faser ist also lokal um ${}P$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Dies führt zur folgenden Definition, die sich bei ${}n\geq m$ am Satz über implizite Abbildungen orientiert, sonst aber darüber hinausgeht.

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

${}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Es sei ${}P\in Y$ ein Punkt von ${}Y$ mit der Eigenschaft, dass ${}Y$ im Punkt ${}P$ die Dimension ${}d$ besitze. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Allerdings haben wir noch nicht den Dimensionsbegriff entwickelt, so dass diese Definition noch in der Luft hängt. Den Dimensionsbegriff zu entwickeln wird eine Aufgabe dieses Kurses sein. Die folgenden erwarteten Eigenschaften geben eine wichtige Orientierung und legen in vielen Situationen die Dimension fest, auch wenn die allgemeine Theorie noch nicht zur Verfügung steht.

1. Der affine Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ soll die Dimension ${}n$ haben.
2. Ein einzelner Punkt soll nulldimensional sein.
3. Bei einem linearen (oder affinen) Unterraum soll die Vektorraumdimension gleich der Dimension sein.
4. Bei einer komplexen Mannigfaltigkeit soll die Dimension der Mannigfaltigkeit die Dimension sein.
5. Die Dimension eines geometrischen Objekt, das sich aus verschiedenen (irreduziblen) Komponenten zusammensetzt, sollte die maximale Dimension der beteiligten Komponenten sein.
6. Bei einem einzigen Polynom ${}\neq 0$ in ${}n$ Variablen soll die Faser die Dimension ${}n-1$ besitzen (Hyperfläche).
7. Zu affin-algebraischen Mengen ${}X$ und ${}Y$ soll die Dimension des Produktes ${}X\times Y$ gleich der Summe der beiden Dimensionen sein. Insbesondere soll die Dimension von ${}X\times {{\mathbb {A} }_{}^{n}}$ gleich ${}\operatorname {dim} {\left(X\right)}+n$ sein.
8. Wenn eine polynomiale Abbildung

   $\varphi \colon X\longrightarrow Y$

   zwischen affin-algebraischen Mengen ${}X$ und ${}Y$ vorliegt, bei der alle Fasern aus endlich vielen Punkten bestehen, sollen ${}X$ und ${}Y$ die gleiche Dimension haben.

Die vorletzte Forderung ist, wenn man über den reellen Zahlen arbeitet, nicht immer zutreffend, wie einfache Beispiele zeigen, im algebraischen und im komplex-analytischen Fall ist dies aber erfüllt.

Beispiel

Zur Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2},$

die durch die Summe der Quadrate gegeben ist, besteht die Faser über dem Nullpunkt allein aus dem Punkt ${}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$. Ein einziger Punkt besitzt aber (in jeder sinnvollen Dimensionstheorie) die Dimension ${}0$ und nicht, wie bei komplexen Hyperflächen, die Dimension ${}n-1$. Über ${}{\mathbb {C} }$ kann man sich die ersten ${}n-1$ Koordinaten frei vorgeben und hat dann für die letzte Variable ${}x_{n}$ noch zwei (gelegentlich eine) Wahlmöglichkeiten, da jede komplexe Zahl ${}\neq 0$ zwei Quadratwurzel besitzt.

Bemerkung  

Wenn ${}\varphi \colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und ${}P\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Punkt ist, in dem das totale Differential surjektiv ist (was ${}n\geq m$ voraussetzt), so dass man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so sind auch die Voraussetzungen von Definition erfüllt. Aufgrund der Voraussetzung des Satzes ist ja der Rang des totalen Differentials (also der Rang der Jacobi-Matrix) gleich ${}m$ und aufgrund des Satzes ist die Dimension der Faser im Punkt ${}P$ gleich ${}n-m$. Damit ist der Rang gleich ${}m=n-(n-m)=n-\operatorname {dim} _{P}(Y)$. Hierbei wird allerdings verwendet, dass die Mannigfaltigkeitsdimension der lokalen Faser mit der später zu definierenden algebraischen Dimension übereinstimmt. Bei ${}m=1$ und ${}\varphi \neq 0$ ist die Dimension der Faser ${}\leq n-1$ und ein Punkt der Faser ist genau dann glatt, wenn man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann. Beispiel gibt ein einfaches Beispiel eines glatten Punktes, in dem der Satz nicht angewendet werden kann.