Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir ${}V$, ohne eine solche Zerlegung. ${}V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung ${}V=V_{1}\cup V_{2}$. Da ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ echte Teilmengen von ${}V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von ${}V$, was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Seien

${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}=W_{1}\cup \ldots \cup W_{m}\,$

zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist

${}V_{1}=V_{1}\cap V=V_{1}\cap (W_{1}\cup \ldots \cup W_{m})=(V_{1}\cap W_{1})\cup \ldots \cup (V_{1}\cap W_{m})\,.$

Da ${}V_{1}$ irreduzibel ist, muss ${}V_{1}\subseteq W_{j}$ für ein ${}j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument ${}W_{j}\subseteq V_{i}$ für ein ${}i$, woraus ${}i=1$ und ${}V_{1}=W_{j}$

folgt. Ebenso findet sich ${}V_{2}$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.

Zur gelösten Aufgabe