Affin-lineare Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E,F$ und ${}G$ affine Räume über den Vektorräumen ${}U,V$ bzw. ${}W$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} _{E}\colon E\longrightarrow E$

   ist affin-linear.

2. Die Verknüpfung von affin-linearen Abbildungen

   $E\longrightarrow F$

   und

   $F\longrightarrow G$

   ist wieder affin-linear.

3. Zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   ist auch die Umkehrabbildung affin-linear.

4. Zu ${}v\in V$ ist die Verschiebung

   $E\longrightarrow E,\,P\longmapsto P+v,$

   affin-linear.

5. Eine lineare Abbildung ist affin-linear.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen