Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Grundeigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}I=\operatorname {Id} \,(V)$ das Verschwindungsideal zu ${}V$.

(1). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(2). ${}V=\emptyset$ ist äquivalent zu ${}1\in I$, und das ist äquivalent zu ${}R=0$.

(3). Dies folgt aus Fakt und Fakt.

(4). Es sei ${}V=\{P\}$, ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})$. Dann ist ${}I=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$ und der Koordinatenring ist

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\cong K\,.$

Umgekehrt, wenn der Koordinatenring ${}K$ ist, so muss der zugehörige Restklassenhomomorphismus ein Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$ sein, und das Verschwindungsideal zu ${}V$ muss ein Punktideal sein, und es ist ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V$. Wenn es noch einen weiteren Punkt ${}Q\in V$, ${}Q\neq P$, gibt, so hat man einen Widerspruch, da nicht alle ${}X_{i}-a_{i}$ in ${}Q$ verschwinden.

(5). Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist ${}\operatorname {Id} \,(V)=\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})$ nach dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Zur bewiesenen Aussage