Affine Abbildung

Definition - affine Abbildung

Eine Abbildung $f\colon A\to B$ zwischen affinen Räumen Bezi $(A,V_{A})$ und $(B,V_{B})$ heißt affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung $\varphi \colon V_{A}\to V_{B}$ zwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass

{\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi \left({\overrightarrow {PQ}}\right)

für alle Punkte $P,Q\in A$ gilt. Dabei bezeichnen ${\overrightarrow {PQ}}\in V_{A}$ und ${\overrightarrow {f(P)f(Q)}}\in V_{B}$ die Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.

Verschiebung

In dem wichtigen Anwendungsfall, dass $A=V_{A}$ und $B=V_{B}$ gilt, ist eine Abbildung $f\colon A\to B$ bereits dann eine affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung $\varphi \colon V_{A}\to V_{B}$ gibt mit

f(P)=f(0)+\varphi (P)

für alle $P$ in $A$ . In diesem Fall entsteht eine affine Abbildung also durch eine Translation einer linearen Abbildung mit dem Bild $f(0)$ des Nullpunkts.

Aufgabe für Studierende

Welcher Zusammenhang besteht zwischen affinen Abbildung und linearen Gleichungssystemen $A\cdot x=b$ mit $A\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ , $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $b\in \mathbb {R} ^{n}$ ?

Siehe auch

affiner Raum

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