Affine Ebene/Unendlicher Körper/Endliche Punktmenge/Irreduzibler Kurvenschnitt/Aufgabe/Lösung

1. Man findet eine (hinreichend generische) Linearform, die für die Punkte unterschiedliche Werte ergibt. Man kann also annehmen, dass Koordinaten derart vorliegen, dass in den Punkten

   ${}P_{i}=(a_{i},b_{i})\,$

   die ersten Koordinaten verschieden sind. Es sei

   ${}F=(X-a_{1})\cdots (X-a_{n})\,.$

   Wir wählen ein Polynom ${}H$ in der einen Variablen ${}X$ gemäß dem Interpolationssatz mit

   ${}H(a_{i})=b_{i}\,$

   für ${}i=1,\ldots ,n$. Mit ${}G=Y-H$ ist

   ${}M=V(F)\cap V(G)\,$

   erhält man ${}M$ als Durchschnitt von zwei Kurven.

2. Wir ersetzen ${}F$ durch ${}F'=Y-H+F$. Es ist

   ${}V(G)\cap V(F')=V(G)\cap V(F)=M\,$

   und die beiden Kurven sind Graphen, also irreduzibel.

Zur gelösten Aufgabe