Affine Fermat-Kubik/Anzahl über endlichen Körpern/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Gleichung als

Dabei kann man sich für einen beliebigen Wert aus dem Körper vorgeben und muss sich fragen, ob und wie viele Lösungen es dann für gibt. Da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch mit Elementen ist, ist das Potenzieren zum Exponenten bijektiv, wenn und teilerfremd sind, und hat einen Kern mit drei Elementen, falls und nicht teilerfremd sind. Im letzteren Fall gibt es Einheiten, die dritte Potenzen sind.

  1. Siehe (4).
  2. Es ist

    Somit gibt es bei drei Lösungen für , bei gibt es eine Lösung für und bei gibt es keine Lösung für . Insgesamt gibt es also sechs Lösungen für diese Gleichung über .

  3. Bei gibt es nur vier Einheiten, die dritte Potenzen sind, da das Potenzieren zum Exponenten drei einen Kern mit drei Elementen besitzt. Diese vier dritten Potenzen sind (neben der ) gleich

    Die einzige Möglichkeit, mit diesen Potenzen die Summe zu erhalten, ist . Da drei dritte Einheitswurzeln besitzt, gibt es sechs Lösungen für diese Gleichung über .

  4. Nach Voraussetzung sind und teilerfremd, das bedeutet, dass das dritte Potenzieren bijektiv ist. Es gibt also zu jedem ein eindeutig bestimmtes , das die Gleichung erfüllt. Somit gibt es in diesem Fall Lösungen.