Affine Fermatkubik/Glattheit/Mod p/Beispiel

Die elliptische Kurve ${}E$ zur Fermatkubik

$X^{3}+Y^{3}+1$

besitzt für alle Primzahlen ${}p\neq 3$ nach Fakt gute Reduktion und bei ${}p=3$ ist wegen

${}(X+Y+1)^{3}=X^{3}+Y^{3}+1\,$

die Kurve ${}E_{3}$ eine nichtreduzierte Kurve und insbesondere in jedem Punkt singulär. Geometrisch ist es die durch ${}X+Y+1=0$ gegebene Gerade, aber mit einer verdickten algebraischen Struktur.