Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt/Beweis

Beweis

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus

Für die Umkehrung sei ein Polynom mit . Wir schreiben

(mit ). Daher ist

Da dieses Polynom gleich ist müssen alle Koeffizienten sein, d.h. zu jedem gehört auch

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in nur Monome mit dem gleichen Wert vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus , sagen wir (mit ). Es muss in mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir , vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf abgebildet wird. Wir schreiben

Im Summand rechts kommt nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form

mit disjunkten und und mit ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.