Affine Quadriken in zwei Variablen/Komplex/Klassifizierung/Beispiel

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Wir wollen die komplexen Quadriken klassifizieren. Aufgrund von Fakt kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form

${}Y^{2}=aX^{2}+bX+c\,$

hat. Bei ${}a=b=0$ kann man durch eine Transformation ${}Y\mapsto {\sqrt {c}}Y$ und anschließende Division durch ${}\pm c$ erreichen, dass die rechte Seite ${}1$ oder ${}0$ ist.

Bei ${}a=0$ und ${}b\neq 0$ kann man ${}bX+c$ als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung ${}Y^{2}=X$.

Es sei nun ${}a\neq 0$. Dann kann man durch die Transformation ${}X\mapsto X/{\sqrt {a}}$ erreichen, dass ${}a=1$ ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man ${}b$ zu null machen. Schließlich kann man durch simultane Transformation ${}X\mapsto uX,\,Y\mapsto uY$ und anschließende Division erreichen, dass ${}c=1$ ist.

Wir wissen also, dass jede komplexe Quadrik auf eine der folgenden fünf Formen gebracht werden kann:

• ${}Y^{2}=0\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist eine verdoppelte Gerade.

• ${}Y^{2}=1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet ${}Y=\pm 1$, das sind also zwei parallele komplexe Geraden.

• ${}Y^{2}=X\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist eine komplexe Parabel.

• ${}Y^{2}=X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet ${}(Y-X)(Y+X)=0$, es handelt sich also um zwei komplexe Geraden, die sich in einem Punkt kreuzen.

• ${}Y^{2}=X^{2}+1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet ${}(Y-X)(Y+X)=1$, das ist also eine komplexe Hyperbel.

Typ I und Typ III sind dabei komplex-topologisch betrachtet eine komplexe affine Gerade, also eine reelle Ebene und damit topologisch gleich (von komplexer Ebene zu sprechen ist im Kontext der algebraischen Geometrie gefährlich, es kann ${}{\mathbb {C} }$ oder ${}{\mathbb {C} }^{2}$ gemeint sein). Die Restklassenringe sind aber verschieden, weshalb sie hier als verschieden aufgelistet werden. Ansonsten sind alle Typen komplex-topologisch untereinander verschieden. Neben der reellen Ebene gibt es die punktiere komplexe affine Gerade (die Hyperbel, die topologisch eine punktierte reelle Ebene ist), zwei disjunkte Geraden und zwei sich (in einem Punkt) schneidende Geraden.