Affine Quadriken in zwei Variablen/Reell/Klassifizierung/Beispiel

Sei ${}K=\mathbb {R}$. Wir wollen die reellen Quadriken klassifizieren, und zwar hauptsächlich hinsichtlich der affin-linearen Äquivalenz für die erzeugten Hauptideale. D.h. wir dürfen affine Variablentransformationen durchführen und teilen. Aufgrund von Fakt kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form

${}Y^{2}=aX^{2}+bX+c\,$

hat. Bei ${}a=b=0$ kann man durch eine Transformation ${}Y\mapsto {\sqrt {c}}Y$ (bei $c>0$) bzw. ${}Y\mapsto {\sqrt {-c}}Y$ (bei $c<0$) und anschließende Division durch ${}\pm c$ erreichen, dass die rechte Seite gleich ${}1,\,-1$ oder ${}0$ ist.

Bei ${}a=0$ und ${}b\neq 0$ kann man ${}bX+c$ als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung ${}Y^{2}=X$.

Es sei nun ${}a\neq 0$. Dann kann man durch eine Transformation ${}X\mapsto X/{\sqrt {a}}$ bzw. ${}X\mapsto X/{\sqrt {-a}}$ erreichen, dass ${}a=\pm 1$ ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man ${}b$ zu ${}0$ machen. Bei ${}c=0$ kann man auf ${}Y^{2}=\pm X^{2}$ transformieren. Es sei also ${}c\neq 0$. Dann kann man durch eine simultane Transformation ${}X\mapsto uX,\,Y\mapsto uY$ ($u={\sqrt {\pm c}}$) und anschließende Division erreichen, dass ${}c=\pm 1$ ist. Wir haben also noch die Möglichkeiten ${}Y^{2}=\pm X^{2}\pm 1$ zu betrachten, wobei

${}Y^{2}-X^{2}=\pm 1\,$

zueinander äquivalent sind.

Wir wissen also, dass jede reelle Quadrik auf eine der folgenden neun Formen gebracht werden kann.

• ${}Y^{2}=0\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist eine verdoppelte Gerade.

• ${}Y^{2}=1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet ${}Y=\pm 1$, das sind also zwei parallele Geraden.

• ${}Y^{2}=-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist leer.

• ${}Y^{2}=X\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist eine Parabel.

• ${}Y^{2}=X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet ${}(Y-X)(Y+X)=0$, es handelt sich also um zwei sich kreuzende Geraden.

• ${}Y^{2}=-X^{2}\,$ ${}\,$ ${}\,$ Die einzige Lösung ist der Punkt ${}(0,0)$.

• ${}Y^{2}=X^{2}+1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das bedeutet ${}(Y-X)(Y+X)=1$, das ist also eine Hyperbel.

• ${}Y^{2}=-X^{2}+1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist ein Einheitskreis.

• ${}Y^{2}=-X^{2}-1\,$ ${}\,$ ${}\,$ Das ist wieder leer.

Sind diese neun Typen alle untereinander verschieden? Das hängt davon ab, welchen Äquivalenz-Begriff man zugrunde legt. Die Typen III und IX sind beide leer, haben also identisches Nullstellengebilde. Andererseits sind die zugehörigen Restklassenringe

$\mathbb {R} [X,Y]/(Y^{2}+1)\,\,{\text{ und }}\,\,\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}+1)$

nicht isomorph, und über den komplexen Zahlen sind die Nullstellengebilde nicht gleich. Deshalb werden sie auch hier als verschieden betrachtet. Ansonsten sind diese Nullstellengebilde meistens schon aus topologischen Gründen verschieden (z.B. ist der Einheitkreis kompakt, die Hyperbel ist nicht kompakt und hat zwei Zusammenhangskomponenten, die Parabel ist nicht kompakt mit einer Zusammenhangskomponenten, etc.). Allerdings ist die verdoppelte Gerade und die Parabel reell-topologisch gleich, und die Hyperbel und die parallelen Geraden ebenfalls. Hier sind aber jeweils die Restklassenringe und im zweiten Fall auch die komplexen Versionen verschieden. Z. B. ist ${}K[X,Y]/(Y^{2})$ nicht reduziert, aber ${}K[X,Y]/(Y^{2}-X)\cong K[Y]$ ist ein Integritätsbereich. Die komplexe Hyperbel ist zusammenhängend, da sie isomorph zu ${}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ist, also zur punktierten komplexen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{0\}$.