Es sei das Bild der Abbildung. Nach
Fakt
ist
-
Nun gilt für mit und für die Beziehung
-
wobei das Polynom ist, das sich ergibt, wenn man in die Variable durch die -te Koeffizientenfunktion ersetzt. Daher ist genau dann, wenn ist, und verschwindet auf ganz genau dann, wenn auf dem ganzen verschwindet. Da unendlich ist, bedeutet dies, dass das Nullpoynom ist. Daher gilt, dass ist genau dann, wenn unter dem zugehörigen Ringhomomorphismus
-
auf abgebildet wird. Damit ist das Urbild eines Primideals
(nämlich des Nullideals)
und somit nach
Aufgabe
selbst ein Primideal. Aufgrund von
Fakt
ist irreduzibel.