Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge in der Ebene/Durch Variablen definiert/Beispiel

Wir betrachten die affine Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und darin einige affin-algebraische Teilmengen, die durch die Variablen ${}X$ und ${}Y$ definiert sind. Das Nullstellengebilde ${}V(X,Y)$ besteht einfach aus dem Nullpunkt ${}(0,0)$. Die Bedingung sagt ja hier, dass beide Variablen null sein müssen. Die Menge ${}V(X)$ ist die ${}Y$- Achse (alle Punkte der Form $(0,y)$) und ${}V(Y)$ ist die ${}X$-Achse. Die Menge ${}V(X+Y)$ besteht aus allen Punkten ${}(x,y)$ mit ${}y=-x$. Das ist also die Gegendiagonale. Die Menge ${}V(XY)$ besteht aus den Punkten ${}(x,y)$, wo das Produkt ${}xy=0$ sein muss. Über einem Körper kann ein Produkt aber nur dann null sein, wenn einer der Faktoren null ist. D.h. es ist ${}V(XY)=V(X)\cup V(Y)$ und es liegt das Achsenkreuz vor.