Affine Varietäten/Affine Gerade/Zariski-Topologie/Beispiel

Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ über einem Körper ${}K$ lässt sich einfach beschreiben. Als (Zariski)-abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch ${}V(0)$ beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch ${}V({\mathfrak {a}})$ mit ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ beschrieben. Da ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist, kann man sogar ${}{\mathfrak {a}}=(f)$, ${}f\neq 0$, ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt ${}P$ mit der Koordinate ${}a$ die einzige Nullstelle des linearen Polynoms ${}X-a$, also ist ${}\{P\}=V(X-a)$ Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ mit den Koordinaten ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist die Nullstellenmenge des Polynoms ${}(X-a_{1})\cdots (X-a_{k})$. Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen (einschließlich der leeren) und der gesamten Menge.