Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge und zu Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Das Ideal ${}c{\mathfrak {a}}$ besteht aus allen Linearkombinationen der ${}F_{j}$ und enthält insbesondere alle ${}F_{j}$. Daher ist die Inklusion ${}V(F_{j},j\in J)\supseteq V({\mathfrak {a}})$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}P\in V(F_{j},j\in J)$ und sei ${}H\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist ${}H=\sum _{i=1}^{k}A_{i}F_{j_{i}}$ (mit ${}A_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$) und somit ist

${}H(P)=\sum _{i=1}^{k}A_{i}(P)F_{j_{i}}(P)=0\,,$

also verschwindet jedes Element aus dem Ideal im Punkt ${}P$. Daher ist ${}P\in V({\mathfrak {a}})$.

Zur bewiesenen Aussage