Affine Varietäten/Algebraische Funktionen/ux-vy/Funktion auf D(x,y)/Beispiel

Es sei ${}V=V(WX-ZY)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ und sei ${}U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)\subset V$ die durch ${}X$ und ${}Y$ definierte Zariski-offene Menge. Auf ${}U$ ist die durch

${}f={\frac {Z}{X}}={\frac {W}{Y}}\,$

definierte Funktion algebraisch. Die beiden rationalen Darstellungen liefern offenbar eine algebraische Funktion auf den beiden offenen Teilmengen ${}D(X)$ und ${}D(Y)$. Damit es eine Funktion auf ${}U$ definiert muss sichergestellt werden, dass die Brüche auf dem Durchschnitt, also auf ${}D(X)\cap D(Y)=D(XY)$, die gleichen Funktionswerte haben. Es sei also ${}Q=(w,x,y,z)\in D(XY)$, ${}Q\in V$. D.h. ${}x,y\neq 0$ und ${}wx=zy$. Dann ist aber sofort

${}{\frac {Z}{X}}(Q)={\frac {z}{x}}={\frac {w}{y}}={\frac {W}{Y}}(Q)\,.$