Es sei
kein Primideal. Bei
ist
,
also ist
nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome
mit
,
aber
.
Dies bedeutet, dass es Punkte
mit
und
gibt. Wir betrachten die beiden Ideale
und
.
Daher ist
-

nach
Fakt (3).
Wegen
und
sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
-

sodass eine nicht-triviale Zerlegung von
vorliegt und somit
nicht irreduzibel ist.
Es sei nun
nicht irreduzibel. Bei
ist
kein Primideal. Es sei also
mit der nicht-trivialen Zerlegung
.
Es sei
und
.
Wegen
gibt es einen Punkt
,
.
Also gibt es auch ein
,
,
und somit
.
Ebenso gibt es
,
.
Für einen beliebigen Punkt
ist
,
da
auf
und
auf
verschwindet. Also ist
und daher ist
kein Primideal.