Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylindern/Zwei Kreise/Beispiel

Wir betrachten im affinen Raum ${}\mathbb {A} _{K}^{3}$ ($K=\mathbb {R}$) die beiden Zylinder

$S_{1}={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}{\text{ und }}S_{2}={\left\{(x,y,z)\mid y^{2}+z^{2}=1\right\}}.$

Das sind beides irreduzible Mengen, wie wir später sehen werden (für ${}K$ unendlich). Wie sieht ihr Durchschnitt aus? Der Durchschnitt wird durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben, das durch ${}X^{2}+Y^{2}-1$ und ${}Y^{2}+Z^{2}-1$ erzeugt wird. Zieht man die eine Gleichung von der anderen ab, so erhält man

${}X^{2}-Z^{2}=(X-Z)(X+Z)\in {\mathfrak {a}}\,.$

Die beiden einzelnen Faktoren gehören aber nicht zu ${}{\mathfrak {a}}$, da beispielsweise ${}(1,0,-1)$ ein Punkt des Schnittes ist, an dem ${}X-Z$ nicht verschwindet (Charakteristik ${}\neq 2$), und ${}(1,0,1)$ ein Punkt des Schnittes ist, an dem ${}X+Z$ nicht verschwindet. Die Komponenten des Schnittes werden vielmehr durch

${\mathfrak {b}}_{1}={\mathfrak {a}}+(X-Z){\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{2}={\mathfrak {a}}+(X+Z)$

beschrieben. Das sind beides Primideale, der Restklassenring ist

${}K[X,Y,Z]/({\mathfrak {b}}_{1})=K[X,Y,Z]/({\mathfrak {a}}+(X-Z))=K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,.$

Um die zweite Gleichung einzusehen, eliminiert man ${}Z$ mit der hinteren Gleichung, und die beiden Zylindergleichungen werden dann identisch. Ebenso ist die Argumentation für das andere Ideal. Geometrisch gesprochen heißt dies, dass ein Punkt des Durchschnittes ${}S_{1}\cap S_{2}$ in der Ebene ${}E_{1}=V(Z-X)$ oder in der Ebene ${}E_{2}=V(Z+X)$ liegt. Es ist

${}E_{1}\cap S_{1}=E_{1}\cap S_{1}\cap S_{2}=E_{1}\cap S_{2}\,$

und ebenso für ${}E_{1}$, da auf diesen Ebenen die beiden Zylindergleichungen identisch werden.

Wie sehen die Durchschnitte in den Ebenen aus? Wir betrachten die Ebene ${}E_{1}$ mit den Koordinaten ${}Y$ und ${}U=Z+X$. Es ist dann ${}X={\frac {1}{2}}((Z+X)-(Z-X))$ und damit kann man die erste Zylindergleichung als

${}{\left({\frac {1}{2}}((Z+X)-(Z-X))\right)}^{2}+Y^{2}=1\,$

schreiben. Auf der Ebene ${}E_{1}$, die ja durch ${}Z=X$ festgelegt ist, wird aus dieser Gleichung

${}{\left({\frac {1}{2}}U\right)}^{2}+Y^{2}=1\,$

also ${}{\frac {1}{4}}U^{2}+Y^{2}=1$. Dies ist die Gleichung einer Ellipse, was auch anschaulich klar ist. Man beachte, dass in der obigen Berechnung des Restklassenringes ${}K[X,Y,Z]/({\mathfrak {b}}_{1})$ aber eine Kreisgleichung auftritt. Dies sollte deshalb nicht überraschen, da Kreis und Ellipse durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar sind und dass daher insbesondere die Restklassenringe isomorph sind. Als metrisches Gebilde sind Kreis und Ellipse verschieden, und der Durchschnitt der beiden Zylinder besteht aus zwei Ellipsen. Bei einer orthonormalen Variablentransformation bleibt die metrische Struktur erhalten. Die Variablen ${}Y,{\left(X+Z\right)},{\left(X-Z\right)}$ definieren aber keine orthonormale Transformation.

Halten wir also fest: Der Durchschnitt der beiden Zylinder ist

${}S_{1}\cap S_{2}=V({\mathfrak {b}}_{1})\cup V({\mathfrak {b}}_{2})\,,$

wobei ${}{\mathfrak {b}}_{1}=(X^{2}+Y^{2}-1,X-Z)$ und ${}{\mathfrak {b}}_{2}=(X^{2}+Y^{2}-1,X+Z)$ zwei Ellipsen beschreiben.

Wie liegen diese beiden Ellipsen zueinander? Dazu berechnen wir ihren Durchschnitt, der durch die Summe von ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ und ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ beschrieben wird. Es ist

${}{\mathfrak {b}}_{1}+{\mathfrak {b}}_{2}={\left(X^{2}+Y^{2}-1,X-Z,X+Z\right)}={\left(Y^{2}-1,X,Z\right)}\,.$

Die Lösungsmenge davon besteht aus den beiden Punkten ${}(0,1,0)$ und ${}(0,-1,0)$.