Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Punkt ${}P\in V({\mathfrak {a}})$ ist ein Tupel ${}(x_{1},\ldots ,x_{m})$, in dem alle Polynome aus ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ verschwinden. Ein Punkt

${}(P,Q)\in V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})\,$

ist entsprechend ein Tupel ${}(x_{1},\ldots ,x_{m};y_{1},\ldots ,y_{n})$, in dem sowohl alle Polynome aus ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ als auch alle Polynome aus ${}{\mathfrak {b}}\subseteq K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ verschwinden, wobei diese Bedingungen jeweils nur vom vorderen bzw. vom hinteren Teiltupel abhängen. Dies ist äquivalent dazu, dass alle Polynome aus

${}{\mathfrak {a}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]+{\mathfrak {b}}K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,$

verschwinden, da diese Eigenschaft durch ein Erzeugendensystem des Ideals festgelegt ist.

Zur bewiesenen Aussage