(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom überall und das konstante Polynom nirgendwo verschwindet.
(3). Es sei ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir
.
D.h.
für jedes Polynom
.
Ein beliebiges Element aus dem Produktideal hat die Gestalt
-
mit
.
Damit ist
,
da stets
gilt, also gehört zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen nicht zu der Vereinigung links, so ist
für alle
.
D.h. es gibt
mit
.
Dann ist aber
und
,
sodass nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.
(4). Es sei
.
Dann ist
für alle
genau dann, wenn
ist für alle
und für alle
.
Dies ist genau dann der Fall, wenn
ist für alle aus der Summe dieser Ideale.