Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom überall und das konstante Polynom nirgendwo verschwindet.

(3). Sei ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir . D.h. für jedes Polynom . Ein beliebiges Element aus dem Produktideal hat die Gestalt

mit . Damit ist , da stets gilt, also gehört zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen nicht zu der Vereinigung links, so ist für alle . D.h. es gibt mit . Dann ist aber und , so dass nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.

(4). Sei . Dann ist für alle genau dann, wenn ist für alle und für alle . Dies ist genau dann der Fall, wenn ist für alle aus der Summe dieser Ideale.