Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei ${}P\in T$ ein Punkt. Dann verschwindet nach Definition jedes Polynom ${}F\in \operatorname {Id} (T)$ auf ${}T$, also ${}P\in V(\operatorname {Id} (T))$.

(2). Es sei ${}F\in I$. Dann verschwindet ${}F$ auf ganz ${}V(I)$ und daher ist ${}F\in \operatorname {Id} \,(V(I))$.

(3). Nach (1), angewandt auf ${}T=V(I)$, haben wir die Inklusion „${}\subseteq$ “. Nach (2) ist ${}I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$. Wendet man darauf ${}V(-)$ an, so ergibt sich nach Fakt die andere Inklusion.

(4). Wie (3).

Zur bewiesenen Aussage