Affine monomiale Raumkurve/3 4 5/Beschreibung mit Gleichungen/Beispiel
Es sei die durch
gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Fakt schauen, welche Potenzen davon, wenn man die -Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.
Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind
Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.
In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit . Zunächst lassen sich und nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir . Eine andere (davon unabhängige) Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung , dass man zwischen Potenzen von und von eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich , so ist . Bei oder haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Es sei also . Dann kann man aber mittels der Gleichung die Exponenten in der Gleichung kleiner machen (indem man den Exponenten von um reduziert und die Exponenten von und von um ).
Für hat man sofort die Gleichung , mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.
Für hat man und . Es gibt keine kleineren Monome in und , die man als Potenz von ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.
Insgesamt haben wir also für die Kurve die Gleichungen
