Affine punktierte Ebene/Strukturgarbe/Erste Kohomologie/Beispiel

Wir betrachten die punktierte affine Ebene

${}U={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{(0,0)\}\,$

über einem Körper ${}K$ und wollen ${}H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{U})$ mit Hilfe von Fakt verstehen. Der Funktionenkörper ist ${}K(X,Y)$, wir bezeichnen die zugehörige konstante Garbe mit ${}{\mathcal {Q}}$. Die lange exakte Kohomologiesequenz beginnt

$0\longrightarrow K[X,Y]\longrightarrow K(X,Y)\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {Q}}/{\mathcal {O}}_{U}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{U})\longrightarrow 0.$

Es ist ${}U=D(X)\cup D(Y)$. Wir betrachten Schnitte von ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {Q}}/{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ der Form ${}(D(X),X^{\alpha }Y^{\beta };D(Y),0)$ mit ${}\alpha ,\beta \in \mathbb {Z}$. Der Schnitt wird also auf ${}D(X)$ durch die rationale Funktion ${}X^{\alpha }Y^{\beta }$ und auf ${}D(Y)$ durch die rationale Funktion ${}0$ festgelegt. Da die Differenz, also einfach ${}X^{\alpha }Y^{\beta }$, zur Strukturgarbe auf dem Durchschnitt ${}D(X)\cap D(Y)=D(XY)$ gehört, liegt in der Tat ein Schnitt der Quotientengarbe vor, vergleiche Fakt. Wir bestimmen, abhängig von ${}\alpha$ und ${}\beta$, ob dieser Schnitt im Bild liegt, was äquivalent zur Frage ist, ob dieser Schnitt ein triviales Element in der ersten Kohomologie definiert. Dass es von links herkommt bedeutet, dass es eine rationale Funktion ${}q\in K(X,Y)$ gibt, das mit dem Schnitt übereinstimmt, und das bedeutet wiederum, dass die Differenz auf ${}D(X)$ bzw. ${}D(Y)$ von der Strukturgarbe herkommt, es muss also gleichzeitig ${}q-X^{\alpha }Y^{\beta }\in \Gamma {\left(D(X),{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ und ${}q-0\in \Gamma {\left(D(Y),{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ sein. Die zweite Bedingung bedeutet

${}q={\frac {h}{Y^{n}}}\,$

und die erste Bedingung bedeutet

${}{\frac {h}{Y^{n}}}-X^{\alpha }Y^{\beta }={\frac {g}{X^{m}}}\,.$

Es geht also um die Frage, ob die Gleichung

${}X^{\alpha }Y^{\beta }={\frac {h}{Y^{n}}}-{\frac {g}{X^{m}}}\,$

eine Lösung (mit ${}g,h\in K[X,Y]$ und ${}m,n\in \mathbb {N}$ besitzt). Wenn ${}\alpha \geq 0$ oder ${}\beta \geq 0$ ist, so ist dies möglich. Wenn hingegen ${}\alpha ,\beta <0$ sind, so ist dies nicht möglich, da ja die rechte Seite gleich ${}{\frac {hX^{m}-gY^{n}}{X^{m}Y^{n}}}$ ist. Multiplikation mit ${}X^{m}Y^{n}$ zeigt die Unmöglichkeit, da das Ideal ${}(X^{m},Y^{n})$ nur Monome enthält, die Vielfache der einzelnen Erzeuger sind.